• • 1. 1. روند کلی حل یک مساله معکوس

     

     

مراحل اصلی حل یک مساله معکوس را می‌توان بطور خلاصه بصورت زیر بیان نمود.

• تعریف مساله: در ابتدا باید مساله مورد بررسی به دقت تعریف شود. به منظور کاهش هزینه‌ها در روند معکوس (اعم از زمان، سخت افزار و …) و همچنین کاهش بدنهادگی مساله، باید تعداد مجهولاتی را که از آنالیز معکوس محاسبه خواهند شد، تا حد امکان کاهش داد. به علاوه، ناحیه مورد بررسی در حل معکوس را نیز باید تا حد امکان محدود کرد. بدین ترتیب با کاهش بدنهادگی مساله، شانس حل موفق مساله معکوس و دقت آن افزایش می‌یابد.

• • • انجام مساله مستقیم: یک مدل از مساله برای تحلیل مستقیم در نظر گرفته می‌شود. این مدل باید به گونه‌ای باشد که خروجی‌های آن تا حد امکان نسبت به پارامترهایی که از مساله معکوس محاسبه خواهند شد، حساس باشند. به این نکته باید توجه داشت که هر کدام از پارامترهای مساله معکوس باید به طور جداگانه بر خروجی مساله مستقیم اثرگذار باشد. روش‌های معمول برای حل مساله مستقیم شامل روش‌های تحلیلی، روش‌های آزمایشگاهی و روش‌های عددی مانند المان محدود، تفاضل محدود، المان‌ مرزی، بدون المان و … می‌شوند. معمولاً از روش‌های آزمایشگاهی به دلیل هزینه بالا در حل مستقیم استفاده نمی‌شود.

  ( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

• کاوش حساسیت^[۴۱] میان خروجی‌های مساله مستقیم و پارامترهای معکوس: اطمینان از برقراری حساسیت بالا میان خروجی مساله مستقیم و پارامترهای معکوس از مهمترین و مؤثرترین راهکارهایی است که باعث کاهش بدنهادگی تحلیل معکوس می‌گردد. بر مبنای میزان حساسیت، ممکن است تغییراتی در مساله مستقیم و یا پارامترهای مساله معکوس داده شود.

• طراحی و انجام آزمایش: پیش از انجام آزمایش، باید داده خروجی آزمایش (که به عنوان ورودی تحلیل معکوس استفاده خواهد شد)، تجهیزات لازم برای اندازه‌گیری و تعداد نقاط نمونه‌برداری مشخص شود. در صورت امکان باید تعداد داده‌های اندازه‌گیری شده بیشتر از تعداد پارامترهای مجهول مساله معکوس باشد. این امر باعث ایجاد حالت فرانهاده^[۴۲] در مساله معکوس می‌شود که به طور چشمگیری بدنهادگی را کاهش می‌دهد و امکان حل مساله معکوس را حتی در حالتی که داده‌های آزمایش حاوی مقدار زیادی خطا می‌باشند تا حدودی میسر می‌سازد. باید توجه داشت که داده‌های آزمایش همواره شامل مقداری خطا ناشی از اندازه‌گیری می‌باشند.

• کاهش خطای اندازه‌گیری: مسلماً وجود خطا در داده‌های مورد استفاده در تحلیل معکوس باعث ایجاد خطا در پاسخ مساله خواهد شد. در صورتی که مساله بدنهاده باشد، خطای اندک در داده‌ها باعث ایجاد خطای بزرگ در پاسخ مساله و حتی ناپایداری آن می‌شود. بدین منظور باید تا حد امکان خطای داده‌های اندازه‌گیری را کاهش داد. این کار با روش‌هایی همچون فیلتر کردن داده‌ها و پیش هموارسازی انجام می‌شود.

• به کار بستن فرمول‌بندی معکوس: در صورتی که مساله به شکل ماتریسی آشکار^[۴۳] قابل بیان باشد، معکوس این فرم ماتریسی با تمهیدات لازم محاسبه می‌شود و پاسخ مساله به دست می‌آید. برای سیستم‌های پیچیده، که به فرم ماتریسی آشکار بیان نمی‌شوند، یک تابع خطا تعریف شده و با بهره گرفتن از روش‌های بهینه‌سازی پاسخی که باعث کمینه شدن این تابع می‌گردد جستجو می‌شود. برای مسائل معکوس بدنهاده، پس از محاسبه پاسخ، از روش‌های هموارسازی^[۴۴] برای پایدار­کردن پاسخ استفاده می‌شود. در بسیاری از حالات، هموارسازی آخرین راهکار برای غلبه بر بدنهادگی مساله معکوس است.

• بازبینی پاسخ: برای اطمینان از درستی پاسخ به دست آمده، باید از قضاوت مهندسی و ابزارهای آن استفاده نمود. یکی از راهکارهای قابل قبول، بررسی امکان رسیدن به ورودی مساله معکوس با بهره گرفتن از پاسخ‌های بدست آمده می‌باشد. از این نکته به امکان بازساخت ورودی^[۴۵] یاد می‌شود.

• تحلیل معکوس و هموارسازی (تیخونوف)

برخی مسائل معکوس بخاطر شرایط ناپایداری^[۴۶]، بدنهاده می­باشند. همچنین نویزهای^[۴۷] موجود در داده ­های اندازه ­گیری شرایط حل را بدنهاده می­ کنند [۴۱]. برای حذف یا کاهش تاثیر منفی این نویزها هموارسازی موثرترین روش می­باشد. تعدادی روش هموارسازی­ جهت مسایل معکوس پیشنهاد شده ­است که هریک شرایط، مزایا و معایبی دارد. روش تیخونوف به عنوان رایج­ترین روش هموارسازی مسائل بدنهاده می­باشد [۴۲].
به زبان ریاضی، برای حل مسائل معکوس در هموارسازی تیخونوف، تابعی مطابق رابطه زیر تعریف می­کنیم.
(۳-۳)
در رابطه (۳-۳)  تابع هدف،  بردار اندازه ­گیری،  بردار محاسبه شده و  بردار خروجی مساله معکوس می­باشد. با کمینه کردن معادله (۳-۳) علاوه­ بر کم­ کردن تاثیر خطا، ناپایداری در خروجی را با ضریب  کم کنیم [۴۲، ۴۳]. جمله اول، اندازه خطا می­باشد و جمله دوم آن برحسب بردار محاسبه شونده است. بعلت وجود جمله نخست در معادله معادله (۳-۳)، ماتریس  تا حد امکان به ماتریس  نزدیک می­ شود و بعلت وجود جمله دوم، پاسخی با پایداری مناسب بدست می‌آ‌ید. به  اصطلاحاً ضریب هموارسازی می‌گویند. در قسمت­ های بعدی بیشتر در ارتباط با نحوه انتخاب ضریب هموارسازی بحث خواهد شد. برای کمینه­کردن تابع هدف فوق، بایستی از آن نسبت به مجهولات مشتق^[۴۸] گرفت و حاصل را برابر صفر قرار داد. در این صورت، خواهیم داشت:
(۳-۴)
برای حل کردن معادله (۳-۴) نسبت به بردار مجهولات  و با توجه به اینکه بردار  خود دارای تابعیت از بردار  است، لازم است که یک ارتباط تابعی بین  و  برقرار کرد. برای این‌کار از بسط سری تیلور استفاده می‌شود:
(۳-۵)
در رابطه فوق،  یک بردار دلخواه است و می‌توان آن را برابر صفر در نظر گرفت،  بردار ناشی از  است و در بسیاری از موارد با صفر بودن  این بردار نیز صفر خواهد شد. ماتریس  را ماتریس حساسیت می‌گویند. چرا که درایه‌های این ماتریس در بردارنده حساسیت (مشتق)  نسبت به  است و فرم کلی آنرا می‌توان بصورت زیر نوشت [۴۲]:
(۳-۶)
نهایتاً پس از قرار دادن رابطه (۳-۵) در (۳-۳)، و انجام محاسبات خواهیم داشت:
(۳-۷)
در صورتیکه بسط سری تیلور در معادله (۳-۵) را حول  بنویسیم، خواهیم داشت:
(۳-۸)
البته در نوشتن معادله (۳-۸) فرض شده است که پاسخ سیستم به ازای  صفر می­باشد  .

• معادلات حاکم بر تغییر فرم دینامیکی ورق با درنظر گرفتن ضریب میرایی

هرگاه بتوان برای یک مساله خاص جواب تحلیلی بدست آورد، مساله معکوس را نیز ممکن است بتوان بصورت تحلیلی حل ­کرد. هرگاه برای حل مستقیم یک مساله نیازمند استفاده از روش‌های عددی باشیم، تحلیل معکوس آن مساله تنها به شیوه عددی انجام می‌شود.
از آنجا که حل تحلیلی در اکثر مواقع وجود ندارد و یا بسیار دشوار است، در بیشتر مواقع ناچار به حل عددی هستیم. از مهمترین روش­های عددی می­توان به تفاضل محدود^[۴۹]، روش­های تغییراتی^[۵۰] مانند رایلی- ریتز^[۵۱] و روش المان محدود^[۵۲] اشاره کرد.
از میان کلیه روش­های عددی روش المان محدود به دلیل قابلیت ­های فراوان آن بسیار مورد توجه قرار گرفته است. اولین نشانه از بکارگیری المان محدود را می­توان در تحقیقات هرنیکف^[۵۳] مشاهده کرد که برای حل یک مساله الاستیک دوبعدی از ترکیب تیر و میله، با در نظر گرفتن توابع قطعه قطعه پیوسته استفاده کرد [۳۲]. واژه المان محدود را نخستین بار کلاوگ^[۵۴] در سال ۱۹۶۰ مورد استفاده قرار داد [۳۳]. از آن پس پیشرفت­های زیادی در زمینه کاربرد این روش در مسائل مهندسی ایجاد شد که این روش را به یکی از قدرتمندترین روش حل عددی در حل معادلات دیفرانسیل جزئی تبدیل کرد.
در پایان‌نامه پیش­رو، از روش المان محدود برای شبیه­سازی مساله و محاسبه کرنش درون صفحه­ای و همچنین محاسبه حساسیت استفاده می­ شود.
معادله حاکم بر تغییر فرم دینامیکی یک ورق بصورت زیر بیان می­ شود.