تقریب انتظارات شرطی در زمان از بازدهی در پی استراتژی به صورت زیر است.
که اولین عبارت در سمت راست فقط تقریب اصلی لانگ‌استافف-شوراتز در (۲-۱۴۳) است. جهت کاربرد متغیره‌های کنترلی در لانگ‌استافف-شوراتز از همان مشاهدات متغیرهای حالت شبیه سازی شده مونت کارلو که قبلا در محاسبه (۲-۱۴۳) استفاده شده اند، استفاده می‌نماییم. ضرایب تعیین‌شده توسط حداقل مربعات تنها با استفاده N مسیر سود‌آور[۹۰] را با برای نشان می‌دهیم.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
همراه با (۲-۱۴۳) تقریب‌های مورد نیاز برای محاسبه ضریب (۲-۱۵۶) به صورت زیر خواهند بود
با جایگزینی در (۲-۱۵۶) یک تقریب از فراهم می‌شود:
در نهایت تقریب متغیره‌های کنترلی در لانگ‌استافف-شوراتز از ارزش اختیار پیوسته با بهره گرفتن از تابع پایه‌ای به صورت زیر است:
بنابراین کاربر روش لانگ‌استاف-شوراتز برای اختیارات آمریکایی نیازمند سه مرحله متوالی است. در ابتدا از نوع معادله دیفرانسیل در نظر گرفته شده برای قیمت دارائی، مسیرهای متفاوتی از قیمت دارایی را شبیه‌سازی می‌نمائیم. در مرحله بعدی با بهره گرفتن از استقرائی عقب‌گرد از تاریخ سر‌رسید یک ماتریس از کل بازدهی‌ها را بدست می‌اوریم و زمانی را که اعمال فوری در هر مسیر بهینه است را بیان می‌کند. در نهایت قیمت اختیار با تنزیل و میانگین‌گیری بازدهی‌ها مشاهده شده میان همه اعضای ماتریس بدست می‌آید.
فیلتر کالمن
فیلتر کالمن یک فرایند بازگشتی[۹۱] برای تخمین متغیرهای غیرقابل مشاهده(حالت یا وضعیت)[۹۲] است. در فیلتر کالمن خطای پیش‌بینی بدست می‌آورند. سپس از خطای پیش‌بینی و روش حداکثر درستنمایی استفاده می‌شود تا پارامترهای مورد نظر تخمین زده شود.
در فیلتر کالمن دو نوع معادله وجود دارد. یک معادله، دینامیک مجموعه متغیرهای حالت را توضیح می‌دهد که این معادله، تحت عنوان معادله انتقال[۹۳] نام‌گذاری می‌شود. معادله دو‌می که متغیرهای غیر قابل مشاهده را به متغیرهای قابل مشاهده ربط می‌دهد معادله اندازه‌گیری[۹۴] نامیده می‌شود.
اگر فرض نماییم که بیانگر متغیرهای غیرقابل مشاهده باشد و بیانگر بردار متغیرهای قابل مشاهده باشد بنابراین معادله انتقالی و معادله اندازه‌گیری به ترتیب به صورت زیر نوشته می‌شوند.
که ، ، و بردار یا ماتریس پارامترهای معادلات انتقالی و اندازه‌گیری می‌باشند. و نیز بیانگر جملات خطا در دو معادله می‌باشند. که ماتریس واریانس-کوواریانس آنها عبارت است از:
همچنین فرض می‌شود که و فاقد همبستگی هستند ( برای همه و باید داشته باشیم ). بعد از معرفی خلاصه‌ای از فیلتر کالمن به بررسی الگوریتم فیلتر کالمن می‌پردازیم.
در الگوریتم فیلتر کالمن دو نوع متغیر به صورت بازگشتی استفاده می‌شوند که تحت عنوان متغیر های از علت به معلول[۹۵] و از معلول به علت (استقرایی)[۹۶] نام‌گذاری می‌شوند. مجموعه داده‌های مشاهده شده را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.
در این صورت متغیرهای priori شامل میانگین شرطی و واریانس شرطی بر مبنای اطلاعات گذشته می‌باشند که به صورت زیر تعریف می‌شوند.
مشاهده می‌شود متغیرهای priori بر مبنای اطلاعات گذشته متغیر قابل مشاهده تعریف می‌شوند. متغیرهای posteriori شامل تخمین میانگین و واریانس بردارهای حالت مشروط به اطلاعات موجود یعنی در زمان می‌باشد که به صورت زیر بیان می‌شوند.
بنابراین مرحله اول در فیلتر کالمن، محاسبه متغیرهای priori یعنی و با توجه به تمامی اطلاعات در زمان می‌باشد. در این صورت داریم:
در مرحله بعدی با مشاهده ، متغیرهای posteriori با بهره گرفتن از معادله‌های به هنگام کننده[۹۷] در زمان به هنگام می‌شوند. که این معادلات عبارتند از:
که
که در معادله (۲-۱۷۵) خطای معادله اندازه‌گیری یا خطای پیش‌بینی است. واریانس خطای پیش بینی است بازدهی کالمن[۹۸] است. این فرایند یا الگوریتم فوق تا آخرین مشاهده تکرار می‌شود. بعد از این مرحله، از خطای پیش‌بینی برای تخمین پارامترهای ناشناخته سیستم معادلات دیفرانسیل تصادفی استفاده می‌شود. برای این منظور از روش حداکثر درستنمایی استفاده می‌شود. بنابراین تابع لگاریتم روش حداکثر درستنمایی به صورت زیر نوشته می‌شود.
که بردار پارامترهای ناشناخته دستگاه معادلات دیفرانسیل تصادفی، خطای پیش‌بینی، مقدار ثابت معادل ، دترمینان ماتریس خطای پیش‌بینی و تابع چگالی احتمال خطای پیش‌بینی می‌باشد. بنابراین پارامترها از حداکثر سازی نسبت به بردار پارامتر بدست می‌آید.
با توجه به مطالبی که بیان شد کد نویسی برای الگوریتم فیلتر کالمن شامل دو بخش است یک بخش برای اپدیت کردن ماتریس‌های سیستم است و بخش دیگر شامل تخمین پارامترهای معادلات است که برای تخمین از یکی از روش‌ها بهینه‌سازی می توان استفاده کرد. الگوریتم مورد نظر به صورت زیر می باشد.
مدل‌های قیمت‌گذاری و ارزش‌گذاری
مقدمه
در این فصل تعدادی از انواع معادلات دیفرانسیل مورد استفاده در اختیارات مالی و واقعی بیان می‌شوند. همچنین نحوه استخراج معادله فضای حالت جهت تخمین پارامترها و متغیرهای حالت با بهره گرفتن از روش معادلات دیفرانسیل جزئی و تعریف رابطه قیمت آتی[۹۹] و نقدی بیان می‌شود. سپس در ادامه نحوه ارزش‌گذاری میدان نفتی به دو روش معادلات دیفرانسیل متناهی و مونت کارلو بیان می‌شود. در این مطالعه مدل تک عاملی را با روش معادلات دیفرانسیل متناهی ارزش‌گذاری می‌نماییم. مدل‌های دو عاملی را با روش مونت‌کارلو انجام می‌دهیم. در انتها داده های مورد استفاده تحلیل می‌شوند
انواع معادلات دیفرانسیل تصادفی
مدل با واریانس ثابت
