با توسعه رابطه بالا داریم:
با جایگزینی از رابطه (۵٫۱۴) و اطلاع از اینکه جمله آخر معادله (۵٫۱۶)، واریانس می باشد، بدست خواهد آمد:
در انتها اگر به جای امید ریاضی در معادله بالا، واریانس فاصله ای جایگزین شود، نتیجه می شود:
اگر کوواریانس فاصله ای بر اساس تحلیل داده ها معلوم باشد، تنها مجهولات معادله بالا مقادیر می باشند. در روش Kriging هدف مینیمم ساختن خطای تخمین وارایانس به کمک متغیر تصمیم گیری می باشد. به این منظور از معادله (۵٫۱۸) بر حسب وزن ها مشتق گرفته می شود و برابر صفر قرار داده میشود.
در نهایت به یک دسته معادله به صورت زیر خواهیم رسید:
۵-۴-۱- انواع مختلف روش Kriging
Kriging ساده^[۱۲۰]: اگر فرض شود معلوم باشد (به طور مثال میانگین داده ها مشخص باشد.) سپس معادله قبل برای یافتن وزن حل می شود.

Kriging معمولی^[۱۲۱]: اگر میانگین نامعلوم داده ها باشد آنگاه معادله (۵٫۲۰) با قید اضافه زیر حل می شود.
این معادله به کمک روش ضرایب لاگرانژ^[۱۲۲] به مسئله اضافه شد.
Kriging جهانی^[۱۲۳]: اگر یک مدل پیچیده تر به فرم زیر باشد.
که یک تابع معلوم بر حسب می باشد. اما ثابت های نا معلوم هستند و معادله قبل با قید اضافه زیر حل می شود.
۵-۵- پیاده سازی روش Kriging بر روی یک مثال نمونه
روش Kriging معمولی بدون نیاز به دانستن میانگین داده ها، برای تخمین مقدار یک داده در ناحیه ای که کلوراگرام آن معلوم است، استفاده می شود. همچنین این روش میانگین داده ها را نیز به طور ضمنی محاسبه می کند.
فرض کنید قرار است مقدار تابع هدف در نقطه به کمک داده تخمین زده شود. شکل ۵-۲ این موضوع را نشان می دهد. مقادیر تابع داده معلوم با وزن های به طور خطی ترکیب می شود.
مجموع وزن ها باید برابر با یک شود و به عنوان یک قید به مسئله اضافه می شود. در این روش این قید به کمک روش ضریب لاگرانژ، ، به مسئله اعمال می شود. به طور خلاصه معادلات (۵٫۲۵) بایستی به طور همزمان حل شوند.
شکل ۵-۲: فضای دو بعدی که داده ها به طور نامنظم پراکنده شده اند (سیاه رنگ) و نقطه ای که قرار است تخمین زده شود. (سفید رنگ)
فرض می شود داده ها از یک تابع ذاتاً تصادفی با کلوراگرام بدست آمده باشد. کلوراگرام استفاده شده در این تخمین به صورت زیر می باشد:
که فاصله بین دو داده در فضای جستجو می باشد. در روش های زمین شناسی کلوراگرامی انتخاب می شود که بهترین تطابق را با داده ها داشته باشد اما از آنجا که در این پژوهش هیچ اطلاعات قبلی از مسئله بهینه سازی موجود نمی باشد این انتخاب دلخواه می باشد.
در روش Kriging معمولی، یافتن وزن ها به نحوی که واریانس خطای تخمین مینیمم شود به صورت یک سیستم چند معادله چند مجهول زیر بدست می آید:
جمله سمت چپ اختلاف میان داده های معلوم را توصیف می کند در حالی که جمله سمت راست اختلاف میان داده های معلوم و داده تخمینی را بیان می کند. روشKriging یک درونیاب دقیق می باشد، به این معنا که اگر نقطه مورد تخمین یکی از داده ای معلوم باشد آنگاه مقدار تخمین با مقدار داده معلوم دقیقاً برابر است.
اگر تمام داده ها برای تخمین یک نقطه به کار گرفته شوند، تنها کافی است بردار سمت راست تغییر کند و ماتریس سمت چپ هیچ تغییری نمی کند. لازم به ذکر است که به طور کلی نیازی به استفاده از تمام داده ها برای تخمین نمی باشد. به جای استفاده از تمام داده ها می توان تنها از داده های نزدیک به نقطه مورد تخمین استفاده کرد زیرا داده های دور از سهم کمی در تخمین برخوردارند و وزن، ، آنها کوچک می باشد. همچنین با این کار می توان زمان محاسباتی مورد نیاز جهت تخمین را کاهش داد، زیرا که هزینه های محاسباتی ارتباط مستقمی با ابعاد ماتریس سمت چپ یا به عبارت دیگر تعداد داده های مورد استفاده در تخمین، دارد.
۵-۵-۱- مثال
در این مثال قصد بر این است که قابلیت روش Kriging جهت درونیابی سنجیده شود. ۱۰۰ جفت داده رندوم به صورت (x,y) بین انتخاب می شود. با این داده ها خروجی محاسبه می شود. سپس در فضای دو بعدی x و y با گام حرکت ۰٫۲۵ تمام نقاط (x,y) تخمین زده می شود و یک رویه رسم می شود. در شکل ۵-۳ مشاهده می شود که چگونه نقاط تخمین زده شده توسط رویه ای نقاط معلوم را در بر می گیرد.

شکل ۵-۳: تخمین یک تابع دو بعدی نمونه توسط روش Kriging
۵-۶- ترکیب الگوریتم ژنتیک و Kriging جهت مسئله مکان یابی چاه ها
طبق تاریخچه مکان یابی بهینه چاه های نفتی الگوریتم ژنتیک به عنوان یک روش آزاد از گرادیان بسیار در حل مسئله مکان یابی پرکاربرد و متداول است. نقص بزرگ این روش تصادفی بودن آن و نیاز به ارزیابی زیاد تابع هدف می باشد که این امر منجر می شود تا از سادگی پیاده سازی این روش در مسائل با مخازن بزرگ طرف نظر شود. اما راه حل سودمندی که می تواند به کمک ژنتیک آمده و از تعداد شبیه سازی های آن بکاهد، استفاده از تخمین گرها می باشد. در واقع، اطلاعات نقاطی که در طی الگوریتم ژنتیک ارزیابی شده است می تواند با بهره گرفتن از یک روش درونیابی و برونیابی چند بعدی جهت تخمین نقاطی در فضای جستجو که تابع هدف در آن ارزیابی نشده است، مورد استفاده قرار بگیرد. برای این منظور روش درونیاب Kriging معمولی انتخاب شده است. نحوه پیاده سازی روش Kriging و تخمین یک داده نامعلوم مطابق آنچه که در بخش های قبل آمده است انجام می شود.
در تاریخچه مکان یابی طبق فصل دوم، روش هایی جهت ادغام تخمین گر Kriging و ژنتیک پیشنهاد شده است اما در این پژوهش با رویکردی متفاوت روشی منطقی جهت ترکیب این دو الگوریتم پیشنهاد می شود.
۵-۶-۱- گام های ترکیب الگوریتم ژنتیک و Kriging
گام های ترکیب الگوریتم ژنتیک و Kriging برای ماکزیمم سازی یک تابع هدف به صورت زیر می باشد:
تولید یک جمعیت اولیه تصادفی و ارزیابی تابع هدف به ازای هر عضو، همچنین استفاده از این جمعیت به عنوان یک پایگاه داده جهت تخمین گر Kriging.
اعمال اپراتورهای ژنتیک و تولید نسل جدید
اعمال تخمین گر Kriging بر روی اعضای جمعیت جدید. پس از تخمین، مقدار خطای تخمین به کمک رابطه (۵٫۱۸) محاسبه می شود. در این صورت سه حالت زیر ممکن است رخ دهد:
اگر خطا از مقدار خطای دلخواه کوچکتر باشد و مقدار تخمین زده شده برای تابع هدف عضو جدید کوچکتر از بهترین عضو جمعیت قبلی باشد، تخمین مناسب است و نیازی به ارزیابی تابع هدف نمی باشد.
اگر خطا از مقدار خطای دلخواه کوچکتر باشد و مقدار تخمین زده شده برای تابع هدف عضو جدید بزرگتر از بهترین عضو جمعیت قبلی باشد، تابع هدف در این نقطه ارزیابی می شود.
اگر خطا از مقدار خطای دلخواه بزرگتر باشد، تابع هدف به ازای آن عضو ارزیابی می شود.
پایگاه داده های Kriging با توجه به ارزیابی های انجام شده در مرحله ۳ برای عضوهایی که تخمین آنها مناسب نبود، به روز می شود.
شرط همگرایی الگوریتم ژنتیک بررسی می شود. اگر این شرط برقرار نبود به مرحله ۲ رفته و الگوریتم تا حاصل شدن شرط همگرایی ادامه می یابد.
یک نکته مهم در تکمیل این روش پیشنهادی انتخاب مناسب می باشد. واضح است که هر چه پایگاه اطلاعات جهت تخمین بیشتر باشد، دقت تخمین نیز بیشتر است و می توان کوچکتری انتخاب کرد. اما قابل ذکر است که در این روش پیشنهادی حساسیت زیادی در انتخاب دقیق نمی باشد. چرا که تخمین دقیق تابع هدف به ازای یک عضو اهمیت چندانی در الگوریتم ژنتیک ندارد و تنها در این الگوریتم یافتن عضوهای برتر جهت اعمال اپراتورهای ژنتیک حائز اهمیت می باشد. تنها در صورتی الگوریتم ترکیبی به اشتباه می افتد که خطای تخمین کوچکتر از باشد و مقدار تابع هدف تخمینی به اشتباه از مقدار تابع هدف بهترین عضو بزرگتر باشد، در این صورت موقعیت عضو تخمین زده شده به عنوان برترین عضو انتخاب می شود و اپراتورهای ژنتیک بر روی آن اعمال می شود. این اشتباه الگوریتم ترکیبی با پیشنهاد انجام شده در گام ۳ برطرف می شود. در شکل ۵-۴ فلوچارت این الگوریتم ترکیبی نشان داده شده است.
شکل ۵-۴: فلوچارت الگوریتم ترکیبی ژنتیک و Kriging
۵-۶-۲- شبیه سازی و نتایج
مخزن شبیه سازی شده در این بخش مخزن شماره ۲ در بخش ۴-۲-۲ بر مبنای مدل SL ها می باشد. در این مخزن هدف مکان یابی بهینه یک چاه تزریق کننده می باشد. الگوریتم Kriging مورد استفاده دو بعدی می باشد و بدون از دست دادن عمومیت مسئله می توان با به کارگیری Kriging چند بعدی، چندین مکان چاه را بهینه سازی کرد. پارامترهای روش ژنتیک مشابه جدول ۴-۶ می باشد. توجه می شود که در مخازن بزرگ زمان مورد نیاز جهت تخمین به روش Kriging در مقابل زمان هر بار شبیه سازی مخزن ناچیز است. در جدول ۵-۱ نتایج شبیه سازی روش ترکیبی با روش ژنتیک معمولی مقایسه شده است.
جدول ۵-۱: مقایسه روش GA و HGA