اگر معادله (۲-۴-۱) را برحسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(۲-۴-۲)
همانطور که انتظار داریم با اعمال این لاگرانژی به (لاگرانژی ماکسول) تبدیل می شود.
کنش میدان الکترومغناطیسی غیرخطی لگاریتمی به صورت زیر معرفی می شود:
(۲-۴-۳)
همچنین با وردش لاگرانژی لگاریتمی نسبت به ، معادلات غیرخطی الکترومغناطیسی لگاریتمی به صورت زیر حاصل میگردد.
(۲-۴-۴)
که با حل معادله (۲-۴-۴) در یک فضازمان مینکوفسکی در n+1 بُعدی به صورت زیر ساده می شود:
(۲-۴-۵)
با حل این معادله بر حسب داریم:
(۲-۴-۶)
که در رابطه فوق میباشد. اگر رابطه (۲-۴-۶) را بر حسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(۲-۴-۷)
که در حد و برای ۴- بُعد، همان میدان الکتریکی عکس مجذوری بار نقطهای در معادله خطی ماکسول بهدست می آید. همچنین اگر رابطه (۲-۴-۶) را بر حسب های کوچک بسط دهیم داریم:
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
(۲-۴-۸)
که نشان میدهد همانند نظریه بورن- اینفلد میدان الکتریکی ذرات نقطهای در مبدا متناهی می شود.
۲-۵ نظریه غیرخطی الکترودینامیک: نظریه نمایی([۱۳]ENEF)
لاگرانژی غیرخطی نمایی نخستین بار در سال ۲۰۱۲ در مرجع ]۲۲[ ارائه شد. لاگرانژی غیرخطی نمایی به شکل
(۲-۵-۱)
میباشد که در آن پارامتر غیرخطی میباشد. همان‌طوری در مرجع ]۲۲[ آمده، این لاگرانژی شبیه الکترودینامیک بورن و اینفلد واگرایی میدان الکتریکی در از بین نمیبرد اما میدان الکتریکی بدست آمده برای ذرات باردار شبه نقطهای در های کوچک و نزدیک به صفر خیلی کمتر از مقدار بدست آمده از معادلات ماکسول است. به عبارت دیگر شکل نمایی لاگرانژین الکترودینامیک از خصوصیاتی مابین الکترودینامیک بورن- اینفلد و الکترودینامیک ماکسول برای میدان الکتریکی ذرات باردار نقطهای برخوردار است. این خصوصیت جالب توجه، در واقع یک الگوی واقعیتر و در عین حال انعطافپذیرتر از میدانهای الکترومناطیس ذرات باردار ارائه می کند.
اگر معادله (۲-۵-۱) را برحسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(۲-۵-۲)
با اعمال این لاگرانژی به (لاگرانژی ماکسول) تبدیل می شود.
همچنین با وردش لاگرانژی نمایی نسبت به ، معادلات غیرخطی الکترومغناطیسی نمایی حاصل میگردد.
(۲-۵-۳)
که با حل معادله (۲-۵-۳) در یک فضازمان مینکوفسکی در n+1 بُعدی به معادله:
(۲-۵-۴)
میرسیم و با حل این معادله عبارت زیر برای میدان الکتریکی بهدست می آید:
(۲-۵-۵)
که در این رابطه میباشد. همچنین تابع به صورت تعریف می شود. اگر رابطه (۲-۵-۵) را بر حسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(۲-۵-۶)
که در حد و برای ۴- بُعد، همان میدان الکتریکی بار نقطهای در معادله خطی ماکسول استخراج می شود.
در پایان جهت مقایسه میدانهای غیرخطی با یکدیگر و نیز با میدان خطی ماکسول، این میدانها را در یک نمودار ترسیم میکنیم:
شکل ۲-۲: نمودار بر حسب به ازای ، خط پیوسته پررنگ مربوط به میدان ماکسول، خط نقطهچین مربوط به میدان نمایی، خط پیوسته مربوط به میدان بورن- اینفلد و خط چین مربوط به لگاریتمی میباشد.
همانطور که در شکل (۲-۲) میبینیم به ازای های کوچک میدان الکتریکی ماکسول (خط پررنگ) به بینهایت میل می کند و میدانهای غیرخطی بورن- اینفلد و لگاریتمی (خط چین افقی و عمودی) به یک مقدار محدود و برابر میل می کنند و میدان غیرخطی نمایی به بینهایت میل می کند اما سرعت واگرایی آن کمتر از میدان ماکسول میباشد.
