در نتیجه:
(۱-۴۰)
عملگر ، رد ما تریس است و بصورت تعریف می­ شود.
در اینجا ما هم ماتریس چگالی را تعریف کردیم و هم یک رابطه مفید برای متوسط مجموعه ای یک مشاهده پذیر با بهره گرفتن از مجموعه سیستمهای کوانتومی را به دست آوردیم.

برای مجموعه خالص ماتریس چگالی بصورت زیر می­باشد:
(۱-۴۱)
و برای مجموعه آمیخته بصورت زیر می باشد:
(۱-۴۲)
حال برای اینکه اطلاعاتی از سیستم را در زمان های مختلف داشته باشیم و برای به دست آوردن تحول زمانی مقدار چشمداشتی به فکر تحول زمانی ماتریس چگالی می افتیم.
از رابطه ماتریس چگالی نسبت به زمان مشتق می گیریم و در ضرب می کنیم.
(۱-۴۳)
با یادآوری معادله شرودینگر، رابطه بالا ساده تر نیز خواهد شد:
(۱-۴۴-الف)
(۱-۴۴- ب)
(۱-۴۴- پ)
این معادله برای زمانی است که اتمها در حالت همدوس باشند اما در حضور اثرات ناهمدوسی مثل گسیل خودبخودی و یا برهمکنش ناشی از برخورد اتمها این اثرات بصورت پدیدارشناختی به معادله بالا اضافه می شوند که به معادله لیوویل معروف است. پدیدارشناختی یعنی با شناخت سیستم ومتناسب با اثرات ناهمدوسی جملاتی ازمعادله بالا کم یا زیاد می شود.
روش های مختلفی وجود دارد که جملات ناهمدوسی را به معادله بالا اضافه کنیم اما در بیشتر مواقع فرآیندهای واپاشی بصورت زیر به معادله بالا اضافه می­ شود. برای عناصر غیر قطری ماتریس چگالی جملات پدیدار شناختی بصورت زیر است:
(۱-۴۵)
جمله دوم بصورت پدیدار شناختی اضافه شده و بیانگر اینست که آهنگ گذار با ضریب که آهنگ واپاشی از تراز به تراز است، کاهش می یابد. فرض کرده ایم که . و برای عناصر قطری ماتریس چگالی معادلات حرکت ماتریس چگالی یا همان تحول زمانی ماتریس چگالی با این فرض که واپاشی جمعیت از ترازهای بالا به ترازهای پایین مجاز است، بصورت زیر است:
(۱-۴۶)
که آهنگ واپاشی جمعیت هر اتم از تراز به تراز است.
رابطه بین آهنگ میرایی برای عناصر غیر قطری و و آهنگ میرایی عناصر قطری بصورت زیر است:
(۱-۴۷)
که و آهنگ واپاشی جمعیت از ترازهای به سایر ترازها هستند و برای آنها داریم:
(۱-۴۸)
که بیشتر آهنگهای واپاشی را بررسی می کنیم تا درک بهتری از جملات پدیدار شناختی داشته باشیم.
فرض کنیم نیمه عمر تراز ام بصورت باشد، احتمال ماندن در تراز ام بصورت زیر است:
(۱-۴۹)
و دامنه احتمال ماندن در تراز ام بصورت بصورت زیر است:
(۱-۵۰)
برای تراز ام هم این رابطه را نوشته می­ شود
(۱-۵۱)
حال همدوسی بین ترازهای را بصورت زیر تعبیر می­ شود:
(۱-۵۲)
میانگین مجموعه ای همان عنصر غیر قطری ماتریس چگالی است. آشکار است که عامل میرا کننده آن است که آن را در نظر گرفتیم.
۱-۴ اختلال و معادله حرکت ماتریس چگالی:
حل دقیق معادله لیوویل که همان معادله حرکت ماتریس چگالی با جملات پدیدار شناختی است، امکان پذیر نیست. بنابراین از روش اختلال برای حل آن استفاده می کنیم. هامیلتونی دارای دو جمله شامل هامیلتونی اتم بدون اندرکنش و ، هامیلتونی اندرکنش اتم با میدان خارجی است.
(۱-۵۳)
هامیلتونی اندر کنش با بهره گرفتن از تقریب دو قطبی بصورت می باشد، که عملگر گشتاور دوقطبی اتم است.
وقتی هامیلتونی (۱- ۵۳) را در معادله لیوویل قرار می دهیم، جابجایی به دو جمله تبدیل می شود.
یعنی
(۱-۵۴)
برای بررسی عبارت اول سمت راست تساوی، فرض می کنیم معادله ویژه مقداری و غیر اختلالی بصورت باشد، که ویژه توابع انرژی هامیلتونی غیر اختلالی هستند و ویژه مقادیر انرژی آن، نمایش ماتریسی هامیلتونی غیر اختلالی بصورت زیر است:
(۱-۵۵)
با این وجود می توان جمله غیر اختلالی را به صورت ساده زیر نوشت:
(۱-۵۶- الف)
(۱-۵۶- ب)
که اگر آن را بر حسب بسامد گذار بنویسیم، داریم:
(۱-۵۷)
با این تغیرات وآنچه که در قبل در مورد آهنگ های گذار بحث کردیم، معادله حرکت ماتریس چگالی به شکل ساده زیر تبدیل می شوند:
(۱-۵۸)